Наибольшая общая подстрока

Наибольшая общая подстрока (англ. longest common substring) — подстрока двух или более строк, имеющая максимальную длину.

Формально, наибольшей общей подстрокой строк $s_1,s_2,\ldots s_n$ называется строка $\left.w^*\right.$, которая удовлетворяет условию $\|w^*\| = \max(\{\|w\||w\sqsubseteq s_i, i=1,\ldots n\})$, операция $w\sqsubseteq s_i$ обозначает что строка $\left.w\right.$ является (возможно несобственной) подстрокой строки $\left.s_i\right.$.

Алгоритмы поиска наибольшей общей подстроки

Наивный алгоритм

Решение задачи поиска наибольшей общей подстроки для двух строк $\left.s_1\right.$ и $\left.s_2\right.$, длины которых $\left.m\right.$ и $\left.n\right.$ соответственно, заключается в заполнении таблицы $\left.A_{ij}\right.$ размером $(m+1)\times (n+1)$ по следующему правилу, принимая, что символы в строке нумеруются от единицы.

$\left\{ \begin{array}{rclr} A_{0j}&=&0,&j=0\ldots n,\\ A_{i0}&=&0,&i=0\ldots m,\\ A_{ij}&=&0,&s_1[i] \ne s_2[j],i\ne 0, j\ne 0,\\ A_{ij}&=&A_{i-1j-1}+1,&s_1[i] = s_2[j],i\ne 0,j\ne 0. \end{array} \right.$

Максимальное число $\left. A_{uv} \right.$ в таблице это и есть длина наибольшей общей подстроки, сама подстрока:

$s_1[u-A_{uv}+1]\ldots s_1[u]$ и $s_2[v-A_{uv}+1]\ldots s_2[vu]$.

В таблице заполнены значения для строк SUBSEQUENCE и SUBEUENCS:

   SUBSEQUENCE
  000000000000
S 010010000000
U 002000010000
B 000300000000
E 000001001001
U 001000010000
E 000001002001
N 000000000300
C 000000000040
S 010010000000

Получаем наибольшую общую подстроку UENC

Очевидно, трудоемкость такого алгоритма составляет O(mn).

Реализация на C++

void GetLargestCommonSubstring(string & result, const string & a, const string & b) {
    const int a_size = a.size();
    const int b_size = b.size();
 
    typedef vector<int> solution;
 
    const int solution_size = b_size + 1;
    solution x(solution_size, 0), y(solution_size);
 
    solution * previous = &x;
    solution * current = &y;
 
    int max_length = 0;
    int result_index = 0;
 
    for(int i = a_size - 1; i >= 0; i--) {
        for(int j = b_size - 1; j >= 0; j--) {
            int & current_match = (*current)[j];
            if(a[i] != b[j]) {
                current_match = 0;
            }
            else {
                const int length = 1 + (*previous)[j + 1];
                if (length > max_length) {
                    max_length = length;
                    result_index = i;
                }
 
                current_match = length;
            }
        }
 
        swap(previous, current);
    }
 
    result = a.substr(result_index, max_length);
}

Реализация на C#

 public static int LongestCommonSubstring( string str1, string str2 )
    {
      if( String.IsNullOrEmpty( str1 ) || String.IsNullOrEmpty( str2 ) )
        return 0;
 
      List<int[]> num = new List<int[]>();
      int maxlen = 0;
      for( int i = 0; i < str1.Length; i++ )
      {
        num.Add( new int[ str2.Length ] );
        for( int j = 0; j < str2.Length; j++ )
        {
          if( str1[ i ] != str2[ j ] )
            num[ i ][ j ] = 0;
          else
          {
            if( ( i == 0 ) || ( j == 0 ) )
              num[ i ][ j ] = 1;
            else
              num[ i ][ j ] = 1 + num[ i - 1 ][ j - 1 ];
            if( num[ i ][ j ] > maxlen )
              maxlen = num[ i ][ j ];
          }
          if( i >= 2 )
            num[ i - 2 ] = null;
        }
      }
      return maxlen;
    }

Реализация на Haskell

import Data.List
import Data.Function
 
lcstr xs ys = maximumBy (compare `on` length) . concat $ [f xs' ys | xs' <- tails xs] ++ [f xs ys' | ys' <- drop 1 $ tails ys]
  where f xs ys = scanl g [] $ zip xs ys
        g z (x, y) = if x == y then z ++ [x] else []

Алгоритм, использующий суффиксное дерево

См. также

• Суффиксное дерево
• Алгоритмы на строках
• Наибольшая общая подпоследовательность