Красно-чёрное дерево

Красно-чёрное дерево
Тип	дерево поиска
Изобретено в	1972 году
Изобретено	Рудольф Байер
Временная сложность в О-символике
	В среднем	В худшем случае
Расход памяти	O(n)	O(n)
Поиск	O(log n)	O(log n)
Вставка	O(log n)	O(log n)
Удаление	O(log n)	O(log n)

Красно-чёрное дерево (англ. Red-Black-Tree, RB-Tree) — это одно из самобалансирующихся двоичных деревьев поиска, гарантирующих логарифмический рост высоты дерева от числа узлов и быстро выполняющее основные операции дерева поиска: добавление, удаление и поиск узла. Сбалансированность достигается за счёт введения дополнительного атрибута узла дерева — «цвета». Этот атрибут может принимать одно из двух возможных значений — «чёрный» или «красный».

Изобретателем красно-чёрного дерева считают немца Рудольфа Байера. Название «красно-чёрное дерево» структура данных получила в статье Л. Гимпаса и Р. Седжвика (1978). В журнале были доступны две краски (красная и чёрная)^{[источник не указан 551 день]} и дополнительный бит, «прикреплявшийся» к каждому из узлов, обозначался цветом.

Терминология

Красно-чёрное дерево является особым видом двоичного дерева, используемым в компьютерной науке для организации сравнимых данных, таких как фрагменты текста или числа. Листовые узлы красно-черных деревьев не содержат данных. Такие листья не нуждаются в явном выделении памяти — нулевой указатель на потомка может фактически означать, что этот потомок — листовой узел, но в некоторых случаях работы с красно-черными деревьями использование явных листовых узлов может послужить упрощением алгоритма.

Свойства

Пример красно-чёрного дерева

Красно-чёрное дерево — двоичное дерево поиска, в котором каждый узел имеет атрибут цвет, принимающий значения красный или черный. В дополнение к обычным требованиям, налагаемым на двоичные деревья поиска, к красно-чёрным деревьям применяются следующие требования:

1. Узел либо красный, либо чёрный.
2. Корень — чёрный. (В других определениях это правило иногда опускается. Это правило слабо влияет на анализ, так как корень всегда может быть изменен с красного на чёрный, но не обязательно наоборот).
3. Все листья(NIL) — черные.
4. Оба потомка каждого красного узла — черные.
5. Всякий простой путь от данного узла до любого листового узла, являющегося его потомком, содержит одинаковое число черных узлов.

Эти ограничения реализуют критическое свойство красно-черных деревьев: путь от корня до самого дальнего листа не более чем в два раза длиннее пути от корня до ближайшего листа (если дальний лист расположен на 3-м уровне). Результатом является то, что дерево примерно сбалансировано. Так как такие операции как вставка, удаление и поиск значений требуют в худшем случае времени, пропорционального длине дерева, эта теоретическая верхняя граница высоты позволяет красно-чёрным деревьям быть более эффективными в худшем случае, чем обычные двоичные деревья поиска.

Чтобы понять, почему это гарантируется, достаточно рассмотреть эффект свойств 4 и 5 вместе. Пусть для красно-чёрного дерева T число черных узлов в свойстве 5 равно B. Тогда кратчайший возможный путь от корня дерева T до любого листового узла содержит B черных узлов. Более длинный возможный путь может быть построен путем включения красных узлов. Однако, свойство 4 не позволяет вставить несколько красных узлов подряд. Поэтому самый длинный возможный путь состоит из 2B узлов, попеременно красных и черных. Любой максимальный путь имеет одинаковое число черных узлов (по свойству 5), следовательно, не существует пути, более чем вдвое длинного, чем любой другой путь.

Во многих реализациях структуры дерева возможно, чтобы узел имел только одного потомка и листовой узел содержал данные. В этих предположениях реализовать красно-чёрное дерево возможно, но изменятся несколько свойств и алгоритм усложнится. По этой причине данная статья использует «фиктивные листовые узлы», которые не содержат данных и просто служат для указания, где дерево заканчивается. Эти узлы часто опускаются при графическом изображении, в результате дерево выглядит противоречиво с вышеизложенными принципами, но на самом деле противоречия нет. Следствием этого является то, что все внутренние (не являющиеся листовыми) узлы имеют два потомка, хотя один из них может быть нулевым листом. Свойство 5 гарантирует, что красный узел обязан иметь в качестве потомков либо два черных нулевых листа, либо два черных внутренних узла. Для чёрного узла с одним потомком нулевым листовым узлом и другим потомком, не являющимся таковым, свойства 3, 4 и 5 гарантируют, что последний должен быть красным узлом с двумя черными нулевыми листьями в качестве потомков.

Иногда красно-чёрное дерево трактуют как бинарное дерево поиска, у которого вместо узлов в красный и чёрный цвета раскрашены ребра, но это не имеет какого-либо значения. Цвет узла в терминах данной статьи соответствует цвету ребра, соединяющего узел со своим предком, за исключением того, что корневой узел всегда чёрный (свойство 2), в то время как соответствующее ребро не существует.

Аналогия с B-деревом порядка 4

То же самое красно-чёрное дерево, что и в примере выше, представленное как B-дерево.

Красно-чёрное дерево схоже по структуре с B-деревом порядка 4, в котором каждый узел может содержать от 1 до 3 значений и, соответственно, от 2 до 4 указателей на потомков. В таком В-дереве каждый узел будет содержать только одно значение, соответствующее значению чёрного узла красно-чёрного дерева с необязательным значениями до и/или после него в том же узле, оба из которых соответствуют эквивалентным красным узлам красно-чёрного дерева.

Один из способов увидеть эту эквивалентность — «поднять» красные узлы в графическом представлении красно-чёрного дерева так, чтобы они оказались на одном уровне по горизонтали со своими предками черными узлами, образуя страницу. В В-дереве, или в модифицированном графическом представлении красно-чёрного дерева, у всех листовых узлов глубина одинаковая.

Этот тип В-дерева является более общим, чем красно-чёрное дерево, хотя, как видно, из одного такого В-дерева порядка 4 могут быть получены несколько красно-черных деревьев. Если страница В-дерева содержит только одно значение, данный узел чёрный и имеет двух потомков. Если страница содержит три значения, то центральный узел является чёрным, а каждый его сосед — красным. Однако, если страница содержит два значения, любой узел может стать чёрным в красно-чёрном дереве (и тогда второй будет красным).

Работа с красно-чёрными деревьями

Красно-чёрные деревья являются одними из наиболее активно используемых на практике самобалансирующихся деревьев поиска. В частности, контейнеры set и map в большинстве реализаций библиотеки STL языка C++^[1], класс TreeMap языка Java^[2], так же, как и многие другие реализации ассоциативного массива в различных библиотеках, основаны на красно-чёрных деревьях.

Популярность красно-чёрных деревьев связана с тем, что на них часто достигается подходящий баланс между степенью сбалансированности и сложностью поддержки сбалансированности. В частности, при сравнении с идеально сбалансированными деревьями часто обнаруживается, что последние имеют слишком жесткое условие сбалансированности и при выполнении операций удаления из дерева много времени тратится на поддержание необходимой сбалансированности.

Операции

Операции чтения для красно-чёрного дерева ничем не отличаются от оных для бинарного дерева поиска, потому что любое красно-чёрное дерево является особым случаем обычного бинарного дерева поиска. Однако, непосредственный результат вставки или удаления может привести к нарушению свойств красно-черных деревьев. Восстановление свойств требует небольшого (O(log n) или O(1)) числа операций смены цветов (которая на практике очень быстрая) и не более чем трех поворотов дерева (для вставки — не более двух). Хотя вставка и удаление сложны, их трудоемкость остается O(log n).

Вставка

Вставка начинается с добавления узла, точно так же, как и в обычном бинарном дереве поиска, и окрашивания его в красный цвет. Но если в бинарном дереве поиска мы всегда добавляем лист, в красно-чёрном дереве листья не содержат данных, поэтому мы добавляем красный внутренний узел с двумя черными потомками на место чёрного листа.

Что происходит дальше зависит от цвета близлежащих узлов. Термин дядя будем использовать для обозначения брата родительского узла, как и в фамильном дереве. Заметим, что:

• Свойство 3 (Все листья черные) выполняется всегда.
• Свойство 4 (Оба потомка любого красного узла — черные) может нарушиться только при добавлении красного узла, при перекрашивании чёрного узла в красный или при повороте.
• Свойство 5 (Все пути от любого узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов) может нарушиться только при добавлении чёрного узла, перекрашивании красного узла в чёрный (или наоборот), или при повороте.

Примечание: Буквой N будем обозначать текущий узел (окрашенный красным). Сначала это новый узел, который вставляется, но эта процедура может рекурсивно применена к другим узлам (смотрите случай 3). P будем обозначать предка N, через G обозначим дедушку N, а U будем обозначать дядю N. Отметим, что в некоторых случаях роли узлов могут меняться, но, в любом случае, каждое обозначение будет представлять тот же узел, что и в начале. Любой цвет, изображенный на рисунке, либо предполагается в данном случае, либо получается из других соображений.

Каждый случай рассматривается с примерами кода на языке C. Дядя и дедушка текущего узла могут быть найдены с помощью функций:

struct node *
grandparent(struct node *n)
{
        if ((n != NULL) && (n->parent != NULL))
                return n->parent->parent;
        else
                return NULL;
}
 
struct node *
uncle(struct node *n)
{
        struct node *g = grandparent(n);
        if (g == NULL)
                return NULL; // No grandparent means no uncle
        if (n->parent == g->left)
                return g->right;
        else
                return g->left;
}

Случай 1: Текущий узел N в корне дерева. В этом случае, он перекрашивается в чёрный цвет, чтобы оставить верным Свойство 2 (Корень — чёрный). Так как это действие добавляет один чёрный узел в каждый путь, Свойство 5 (Все пути от любого данного узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов) не нарушается.

void
insert_case1(struct node *n)
{
        if (n->parent == NULL)
                n->color = BLACK;
        else
                insert_case2(n);
}

Случай 2: Предок P текущего узла чёрный, то есть Свойство 4 (Оба потомка каждого красного узла — черные) не нарушается. В этом случае дерево действительно. Свойство 5 (Все пути от любого данного узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов) не нарушается, потому что текущий узел N имеет двух черных листовых потомков, но так как N является красным, пути до каждого из этих потомков содержит такое же число черных узлов, что и путь до чёрного листа, который был заменен текущим узлом, который был чёрный, так что свойство остается верным.

void
insert_case2(struct node *n)
{
        if (n->parent->color == BLACK)
                return; /* Tree is still valid */
        else
                insert_case3(n);
}

Примечание: В следующих случаях предполагается, что у N есть дедушка G, так как его родитель P является красным, а если бы он был корнем, то был бы окрашен в черный цвет. Таким образом, N также имеет дядю U, хотя он может быть листовым узлом в случаях 4 и 5.

Случай 3: Если и родитель P и дядя U — красные, то они оба могут быть перекрашены в чёрный и дедушка G станет красным (для сохранения свойства 5 (Все пути от любого данного узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов)). Теперь у текущего красного узла N чёрный родитель. Так как любой путь через родителя или дядю должен проходить через дедушку, число черных узлов в этих путях не изменится. Однако, дедушка G теперь может нарушить свойства 2 (Корень — чёрный) или 4 (Оба потомка каждого красного узла — черные) (свойство 4 может быть нарушено, так как родитель G может быть красным). Чтобы это исправить, вся процедура рекурсивно выполняется на G из случая 1.

void
insert_case3(struct node *n)
{
        struct node *u = uncle(n), *g;
 
        if ((u != NULL) && (u->color == RED) && (n->parent->color == RED)) {
                n->parent->color = BLACK;
                u->color = BLACK;
                g = grandparent(n);
                g->color = RED;
                insert_case1(g);
        } else {
                insert_case4(n);
        }
}

Примечание: В оставшихся случаях предполагается, что родитель P является левым потомком своего предка. Если это не так, необходимо поменять лево и право. Примеры кода позаботятся об этом.

Случай 4: Родитель P является красным, но дядя U — чёрный. Также, текущий узел N — правый потомок P, а P в свою очередь — левый потомок своего предка G. В этом случае может быть произведен поворот дерева, который меняет роли текущего узла N и его предка P. Тогда, бывший родительский узел P рассматривается, используя случай 5 (перенумеровывающий N и P), потому что Свойство 4 (Оба потомка любого красного узла — черные) все ещё нарушено. Вращение приводит к тому, что некоторые пути (в поддереве, обозначенном «1» на схеме) проходят через узел N, чего не было до этого. Это также приводит к тому, что некоторые пути (в поддереве, обозначенном «3») не проходят через узел P. Однако, оба из этих узлов являются красными, так что Свойство 5 (Все пути от любого данного узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов) не нарушается при вращении.

void
insert_case4(struct node *n)
{
        struct node *g = grandparent(n);
 
        if ((n == n->parent->right) && (n->parent == g->left)) {
                rotate_left(n->parent);
                n = n->left;
        } else if ((n == n->parent->left) && (n->parent == g->right)) {
                rotate_right(n->parent);
                n = n->right;
        }
        insert_case5(n);
}

Случай 5: Родитель P является красным, но дядя U — чёрный, текущий узел N — левый потомок P и P — левый потомок G. В этом случае выполняется поворот дерева на G. В результате получается дерево, в котором бывший родитель P теперь является родителем и текущего узла N и бывшего дедушки G. Известно, что G — чёрный, так как его бывший потомок P не мог бы в противном случае быть красным (без нарушения Свойства 4). Тогда цвета P и G меняются и в результате дерево удовлетворяет Свойству 4 (Оба потомка любого красного узла — черные). Свойство 5 (Все пути от любого данного узла до листовых узлов содержат одинаковое число черных узлов) также остается верным, так как все пути, которые проходят через любой из этих трех узлов, ранее проходили через G, поэтому теперь они все проходят через P. В каждом случае, из этих трех узлов только один окрашен в чёрный.

void
insert_case5(struct node *n)
{
        struct node *g = grandparent(n);
 
        n->parent->color = BLACK;
        g->color = RED;
        if ((n == n->parent->left) && (n->parent == g->left)) {
                rotate_right(g);
        } else { /* (n == n->parent->right) and (n->parent == g->right) */
                rotate_left(g);
        }
}

Удаление

При удалении узла с двумя не листовыми потомками в обычном двоичном дереве поиска мы ищем либо наибольший элемент в его левом поддереве, либо наименьший элемент в его правом поддереве и перемещаем его значение в удаляемый узел. Затем, мы удаляем узел, из которого копировали значение.

Будем использовать обозначение M для удаляемого узла; через C обозначим потомка M, который также будем называть просто «его потомок». Если M имеет не листового потомка, возьмем его за C. В противном случае за C возьмем любой из листовых потомков.

Если M является красным узлом, заменим его своим потомком C, который по определению должен быть чёрным. (Это может произойти только тогда, когда M имеет двух листовых потомков, потому что если красный узел M имеет чёрного не листового потомка с одной стороны, а с другой стороны — листового, то число черных узлов на обеих сторонах будет различным, таким образом дерево станет недействительным красно-чёрным деревом из-за нарушения Свойства 5.) Все пути через удаляемый узел просто будут содержать на один красный узел меньше, предок и потомок удаляемого узла должны быть черными, так что Свойство 3 («Все листья — черные») и Свойство 4 («Оба потомка красного узла — черные») все ещё сохраняется.

Другим простым является случай, когда M — чёрный и C — красный. Простое удаление чёрного узла нарушит Свойство 4 («Оба потомка красного узла — черные») и Свойство 5 («Всякий простой путь от данного узла до любого листового узла, содержит одинаковое число черных узлов»), но если мы перекрасим С в чёрный, оба эти свойства сохранятся.

Сложным является случай, когда и M и C — черные. (Это может произойти только тогда, когда удаляется чёрный узел, который имеет два листовых потомка, потому что если чёрный узел M имеет чёрного не листового потомка с одной стороны, а с другой — листового, то число черных узлов на обеих сторонах будет различным и дерево станет недействительным красно-чёрным деревом из-за нарушения Свойства 5.) Мы начнем с замены узла M своим потомком C. Будем называть этот потомок (в своем новом положении) N, а его «брата» (другого потомка его нового предка) — S. (До этого S был «братом» M.) На рисунках ниже мы также будем использовать обозначение P для нового предка N (старого предка M), S_L для левого потомка S и S_R для правого потомка S (S не может быть листовым узлом, так как если N по нашему предположению является чёрным, то поддерево P, которое содержит N, чёрной высоты два и поэтому другое поддерево P, которое содержит S должно быть также чёрной высоты два, что не может быть в случае, когда S — лист).

Примечание: В некоторых случаях мы меняем роли и обозначения узлов, но в каждом случае любое обозначение продолжает означать тот же узел, что и в начале случая. Любые цвета, изображенные на рисунке либо предполагаются случаем, либо получается из других предположений. Белый означает неизвестный цвет (либо красный, либо черный).

Будем искать «брата», используя эту функцию:

struct node *
sibling(struct node *n)
{
        if (n == n->parent->left)
                return n->parent->right;
        else
                return n->parent->left;
}

Примечание: Для того, чтобы дерево оставалось верно определенным, нам нужно, чтобы каждый лист оставался листом после всех преобразований (чтобы у него не было потомков). Если удаляемый нами узел — не листовой потомок N, легко видеть, что свойство выполняется. С другой стороны, если N — лист, то, как можно увидеть из рисунков или кода, свойство также выполняется.

Мы можем выполнить действия, описанные выше, используя следующий код, где функция replace_node ставит child на место узла n в дереве. Для удобства, код в этом разделе предполагает, что нулевые листья представлены реальными объектами узла, а не NULL (код вставки должен работать с таким же представлением).

void
delete_one_child(struct node *n)
{
        /*
         * Условие: n имеет не более одного ненулевого потомка.
         */
        struct node *child = is_leaf(n->right) ? n->left : n->right;
 
        replace_node(n, child);
        if (n->color == BLACK) {
                if (child->color == RED)
                        child->color = BLACK;
                else
                        delete_case1(child);
        }
        free(n);
}

Примечание: Если N является нулевым листом и мы не хотим представлять нулевые листы как реальные объекты, мы можем изменить алгоритм сначала вызывая delete_case1() на его отца (узел, который мы удалили, n в коде выше) и удаляя его после этого. Мы можем сделать это потому, что отец черный, и поэтому ведет себя так же как нулевой лист (и иногда называется 'phantom' лист). Мы можем безопасно удалить его так как n останется листом после всех операций, как показано выше.

Если оба N и его текущий отец черные, тогда удаление отца приведет к тому, что пути, которые проходят через N будут иметь на один чёрный узел меньше, чем пути, которые не проходят через него. Так как это нарушает свойство 5 (все пути из любого узла к его листовым узлам содержат одинаковое количество черных узлов), дерево должно быть перебалансировано. Есть несколько случаев для рассмотрения:

Случай 1: N — новый корень. В этом случае, все сделано. Мы удалили один чёрный узел из каждого пути и новый корень является чёрным узлом, так что свойства сохранены.

void
delete_case1(struct node *n)
{
        if (n->parent != NULL)
                delete_case2(n);
}

Примечание: В случаях 2, 5, и 6 мы предполагаем, что N является левым потомком своего предка P. Если он — правый потомок, left и right нужно поменять местами во всех трех случаях. Опять-таки, примеры кода принимают это во внимание.

Случай 2: S — красный. В этом случае мы меняем цвета P и S, и затем делаем вращение влево вокруг P, ставя S дедушкой N. Нужно заметить, что P должен быть чёрным, если он имеет красного потомка. Хотя все пути по прежнему содержат одинаковое количество черных узлов, сейчас N имеет чёрного брата и красного отца. Таким образом, мы можем перейти к шагу 4, 5 или 6. (Его новый брат является чёрным потому, что он был потомком красного S.) Далее через S будет обозначен новый брат N.

void delete_case2(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);
 
        if (s->color == RED) {
                n->parent->color = RED;
                s->color = BLACK;
                if (n == n->parent->left)
                        rotate_left(n->parent);
                else
                        rotate_right(n->parent);
        } 
        delete_case3(n);
}

Случай 3: P, S, и дети S' - черные. В этом случае мы просто перекрашиваем S в красный. В результате все пути, проходящие через S, но не проходящие через N, имеют на один чёрный узел меньше. Так как удаления отца N приводит к тому, что все пути, проходящие через N, содержат на один чёрный узел меньше, то такие действия выравнивают баланс. Тем не менее, все проходящие через P пути теперь содержать на один чёрный узел меньше, чем пути, которые через P не проходят, поэтому свойство 5 (все пути из любой вершины к её листовым узлам содержат одинаковое количество черных узлов) все ещё нарушено. Чтобы это исправить, мы применяем процедуру перебалансировки к P, начиная со случая 1.

void delete_case3(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);
 
        if ((n->parent->color == BLACK) &&
            (s->color == BLACK) &&
            (s->left->color == BLACK) &&
            (s->right->color == BLACK)) {
                s->color = RED;
                delete_case1(n->parent);
        } else
                delete_case4(n);
}

Случай 4: S и его дети - черные, но P - красный. В этом случае мы просто меняем цвета S и P. Это не влияет на количество черных узлов на путях, проходящих через S, но добавит один к числу черных узлов на путях, проходящих через N, восстанавливая тем самым влиянние удаленного чёрного узла.

void delete_case4(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);
 
        if ((n->parent->color == RED) &&
            (s->color == BLACK) &&
            (s->left->color == BLACK) &&
            (s->right->color == BLACK)) {
                s->color = RED;
                n->parent->color = BLACK;
        } else
                delete_case5(n);
}

Случай 5: S - чёрный, левый потомок S - красный, правый потомок S - чёрный, и N является левым потомков своего отца. В этом случае мы вращаем дерево вправо вокруг S. Таким образом левый потомок S становится его отцом и новым братом N. После этого мы меняем цвета у S и его нового отца. Все пути по прежнему содержат одинаковое количество черных узлов, но теперь у N есть чёрный брат с красным правым потомком, и мы переходим к случаю 6. Ни N, ни его отец не влияют на эту трансформацию. (Для случая 6 мы обозначим через S нового брата N.)

void delete_case5(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);
 
        if  (s->color == BLACK) { /* this if statement is trivial, 
due to case 2 (even though case 2 changed the sibling to a sibling's child, 
the sibling's child can't be red, since no red parent can have a red child). */
/* the following statements just force the red to be on the left of the left of the parent, 
   or right of the right, so case six will rotate correctly. */
                if ((n == n->parent->left) &&
                    (s->right->color == BLACK) &&
                    (s->left->color == RED)) { /* this last test is trivial too due to cases 2-4. */
                        s->color = RED;
                        s->left->color = BLACK;
                        rotate_right(s);
                } else if ((n == n->parent->right) &&
                           (s->left->color == BLACK) &&
                           (s->right->color == RED)) {/* this last test is trivial too due to cases 2-4. */
                        s->color = RED;
                        s->right->color = BLACK;
                        rotate_left(s);
                }
        }
        delete_case6(n);
}

Случай 6: S - чёрный, правый потомок S - красный, и N является левым потомком своего отца P. В этом случае мы вращаем дерево влево вокруг P, после чего S становится отцом P и своего правого потомка. Далее мы изменяем цвета у P и S, и делаем правого потомка S чёрным. Поддерево по прежнему имеет тот же цвет корня, поэтому свойства 4 (Оба потомка каждого красного узла - черные) и 5 (все пути из любой вершины к её листовым узлам содержат одинаковое количество черных узлов) не нарушаются. Тем не менее, у N теперь появился дополнительный чёрный предок: либо P стал чёрным, или он был чёрным и S был добавлен в качестве чёрного дедушки. Таким образом, проходящие через N пути проходят через один ополнительный чёрный узел. Между тем, если путь не проходит через N, то есть 2 возможных варианта: Он проходит через нового брата N. Тогда, он должен проходить через S и P, которые просто поменяли цвета и места. Поэтому путь содержит то же количество черных узлов. Он проходит через нового дядю N, правого потомка S. Когда-то он проходил через S, отца S и правого потомка S (который был красным), но теперь он проходит только через S, который принял на себя цвет своего пержнего родителя, и правого потомка S, который был перекрашен из красного в чёрный (Предполагаем, что цвет S: чёрный). Net эффект заключается в том, что этот путь проходит через такое же количество черных узлов. В любом случае, число черных узлов на этих путях не изменится. Поэтому, мы восстановили свойства 4 (Оба потомка каждого красного узла - черные) и 5 (все пути из любой вершины к её листовым узлам содержат одинаковое количество черных узлов). Белый узел на диаграмме может быть как красным так и чёрным, но должен указывать на тот же цвет как в начале, так и в конце трансформации.

void delete_case6(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);
 
        s->color = n->parent->color;
        n->parent->color = BLACK;
 
        if (n == n->parent->left) {
                s->right->color = BLACK;
                rotate_left(n->parent);
        } else {
                s->left->color = BLACK;
                rotate_right(n->parent);
        }
}

Все рекурсивные вызовы функции хвостовые и преобразуются в циклы, так что алгоритм требует памяти O(1). В алгоритме выше, все случаи связаны по очереди, кроме случая 3, где может произойти возврат к случаю 1, который применяется к предку узла: это единственный случай когда последовательная реализация будет эфективным циклом (после одного вращения в случае 3).

Так же, хвостовая рекурсия никогда не происходит на дочерних узлах, поэтому цикл хвостовой рекурсии может двигаться только от дочерних узлов к их последовательным родителям. Произойдет не более, чем O(log n) циклических возвратов к случаю 1 (где n - общее количество узлов в дереве до удаления). Если в случае 2 произойдет вращение (единственно возможное в цикле случаев 1-3), тогда отец узла N становится красным после вращения и мы выходим из цикла. Таким образом будет произведено не более одного вращения в течение этого цикла. После выхода из цикла произойдет не более двух дополнительных поворотов. А в целом произойдет не более трех поворотов дерева.

Сравнение со сбалансированным АВЛ-деревом

Высота дерева

Пускай высота дерева h, минимальное количество листьев N. Тогда:

• для АВЛ-дерева $N(h)=N(h-1)+N(h-2)$. Поскольку $N(0)=1$, $N(1)=1$, N(h) растёт как последовательность Фибоначчи, следовательно $N(h)=\Theta(\lambda^h)$, где $\lambda=(\sqrt{5}+1)/2\approx 1,62$
• для красно-чёрного дерева $N(h)\ge 2^{(h-1)/2} = \Theta(\sqrt{2}^h)$

Следовательно, при том же количестве листьев красно-чёрное дерево может быть выше АВЛ-дерева, но не более чем в $\log \lambda / \log \sqrt{2} \approx 1,388$ раз.^[3]

Поиск

Поскольку красно-чёрное дерево, в худшем случае, выше, поиск в нём медленнее, но проигрыш по времени не превышает 39 %.

Вставка

Вставка требует до 2 поворотов в обоих видах деревьев. Однако из-за большей высоты красно-чёрного дерева вставка может занимать больше времени.

Удаление

Удаление из красно-чёрного дерева требует до 3 поворотов, в АВЛ-дереве оно может потребовать числа поворотов до глубины дерева (до корня). Поэтому удаление из красно-чёрного дерева быстрее, чем из АВЛ-дерева.

Память

АВЛ-дерево в каждом узле хранит разницу высот (целое число от -1 до +1, для кодирования нужно 2бита). Красно-чёрное дерево в каждом узле хранит цвет (1 бит). Таким образом, красно-чёрное дерево может быть экономичнее.

Однако, на практике в обоих типах деревьев используются целые числа, т.к. работа с битами требует дополнительных процессорных вычислений. Но тем не менее есть реализации красно-чёрного дерева, которые хранят значение цвета в бите. Пример - Boost Multiindex. Цель хранения цвета в бите - уменьшение потребления памяти красно-чёрным деревом (Ordered indices node compression). Бит цвета в такой реализации хранится не в отдельной переменной, а в одном из указателей узла дерева.

Доказательство асимптотических границ

Красно-чёрное дерево, которое содержит n внутренних узлов, имеет высоту $~O(log(n))$.

Обозначения:

• $~h(v)$ — высота поддерева с корнем в $~v$
• $~bh(v)$ — число черных узлов (не считая $~v$, если он чёрный) от $~v$ до любого листа в поддереве (называемое чёрной высотой)

Лемма: Поддерево с корнем в узле $~v$ имеет не менее $~2^{bh(v)}-1$ внутренних узлов.

Доказательство леммы (индукцией по высоте):

Основание индукции: $~h(v) = 0$.

Если поддерево имеет нулевую высоту, то $~v$ должен быть null, поэтому $~bh(''v'') = 0$.

Итак:

$~2^{bh(v)}-1 = 2^{0}-1 = 1-1 = 0$

Индукционный шаг: пусть узел $~v$ такой, что $~h(v) = k$ и поддерево имеет не менее $~2^{bh(v)}-1$ внутренних узлов.
Покажем, что тогда $~v'$, для которого $~h(v') = k+1$, имеет не менее $~2^{bh(v')}-1$ внутренних узлов.

Так как $~v'$ имеет $~h(v') > 0$, это внутренний узел. Как таковой он имеет два потомка, оба из которых имеют чёрную высоту $~bh(v')$, либо $~bh(v')-1$ (зависит от того, является $~v'$ красным, или чёрным).
По индукционному предположению каждый потомок имеет не менее $~2^{bh(v')-1}-1$ внутренних узлов, поэтому $~v'$ имеет не менее

$~2^{bh(v') - 1} - 1 + 2^{bh(v') - 1} - 1 + 1 = 2^{bh(v')} - 1$

внутренних узлов.

Используя эту лемму, мы можем показать, что дерево имеет логарифмическую высоту. Так как по крайней мере половина узлов в любом пути от корня до листа — черные (свойство 4 красно-чёрного дерева), чёрная высота корня не менее $~h(root)/2$. По лемме имеем:

$n \geq 2^{{h(\text{root}) \over 2}} - 1 \leftrightarrow \; \log_2{(n+1)} \geq {h(\text{root}) \over 2} \leftrightarrow \; h(\text{root}) \leq 2\log_2{(n+1)}.$

Поэтому высота корня $~O(log(n))$.

См. также

• Поиск в глубину
• Поиск в ширину
• Сбалансированные (самобалансирующиеся) деревья:

• АВЛ-дерево
• Матричное дерево
• Идеально сбалансированное дерево
• Расширяющееся дерево

Ссылки

• Визуализатор Красно-чёрного дерева
• Томас Ниман Сортировка и поиск: Рецептурный справочник
• Эффективная реализация Красно-Чёрных Деревьев (ENG)
• Красно-чёрные деревья (теория и реализация)

Литература

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to algorithms. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2011. — С. 336-364. — ISBN 978-5-8459-0857-5

Источники

1. ↑ Dr Dobbs — STL’s Red-Black Trees
2. ↑ Класс TreeMap
3. ↑ в пределе для большого числа листьев