Гигантская компонента

Эта статья должна быть полностью переписана. На странице обсуждения могут быть пояснения.

Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.

Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:

$\eta_1+\dots+\eta_N=n,\qquad(1)$

Обозначим через $\eta_{(1)}\leq\dots\leq\eta_{(N)}$ вариационный ряд случайных величин $\eta_1,\dots,\eta_N$. Таким образом, $\;\eta_{(N)}$ — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а $\;\eta_{(N-1)}$ — следующая по величине компонента.

Если при $n\to\infty$ случайная величина $\;\eta_{(N)}/n$ имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а $\;\eta_{(N-1)}/n$ вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.^[1]

Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при $n\to\infty$ так, что $\ln(n)/N\to\infty$, то есть при условии, что параметр $N$ растет медленнее, чем $~\ln(n)$.^[2]

Литература

1. ↑ Колчин В. Ф. О существовании гигантской компоненты в схемах размещения частиц // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2000. — Т. 7. — № 1. — С. 112-113.
2. ↑ Казимиров Н. И. Леса Гальтона-Ватсона и случайные подстановки. — Дис. на соискание уч. степ. канд. ф.-м.н. — Петрозаводск, 2003. — 127 с.