Теорема Хелли

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа.

Предположим, что $X_1,X_2,\dots,X_n$ есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства $\R^d$, такое что пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть $\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset$.

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть $\{X_\alpha\}$ есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств $\mathbb R^d$, такое что пересечение любых $d+1$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

Следствия

• Теорема Юнга: Пусть $S$ есть конечное множество точек в $d$-мерном евклидовом пространстве $\R^d$ такое, что любые $d+1$ точек из $S$ можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество $S$ можно накрыть единичным шаром.

Вариации и обобщения

• Пусть $H$ — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и $X_\alpha$ — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств $H$. Если пересечение произвольного конечного подсемейства $X_\alpha$ не пусто то $\cap_\alpha X_\alpha$ также непусто.

История

Теорема была доказана Хелли (нем.) в 1913 о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923^[1], уже после публикаций Радона^[2] и Кёнига (англ.)^[3].

См. также

• Нерв покрытия

Литература

• Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. Перев. с англ. — М.: Мир, 1968. — 159 с. — библ.: с.с. 128—156.

1. ↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
2. ↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten, — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
3. ↑ D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.