Дизъюнктивная нормальная форма

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.^[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Примеры и контрпримеры

Формулы в ДНФ:

$A \or B$

$(A \and B) \or \neg A$

$(A \and B \and \neg C) \or (\neg D \and E \and F) \or (C \and D) \or B$

Формулы не в ДНФ:

$\neg(A \or B)$

$A \or (B \and (C \or D))$

Построение ДНФ

Алгоритм построения ДНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

$A \rightarrow B = \neg A \vee B$

$A \leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)$

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

$\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$

$\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B$

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения ДНФ

Приведем к ДНФ формулу :$F = ((X \rightarrow Y) \downarrow \neg (Y \rightarrow Z))$

Выразим логические операции → и ↓ через :$\vee \wedge \neg$

$F = ((\neg X \vee Y) \downarrow \neg(\neg Y \vee Z)) = \neg ((\neg X \vee Y) \vee \neg (\neg Y \vee Z))$

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

$F = \neg ((\neg X \vee Y) \vee \neg (\neg Y \vee Z)) = (\neg \neg X \wedge \neg Y) \wedge (\neg Y \vee Z) = (X \wedge \neg Y) \wedge (\neg Y \vee Z)$

Используя закон дистрибутивности, приводим формулу к ДНФ:

$F = (X \wedge \neg Y \wedge \neg Y) \vee (X \wedge \neg Y \wedge Z)$

k-дизъюнктивная нормальная форма

k-дизъюнктивная нормальной формой называют дизъюнктивную нормальную форму, в которой каждая конъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-ДНФ:

$(A \and B) \or (\neg B \and C) \or (B \and \neg C)$

Переход от ДНФ к СДНФ

Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, Z, вставляем в нее выражение :$Z \vee \neg Z = 1$, после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем, так как $Z \vee Z = Z$ по закону Идемпотентности). Например:

$X \vee \neg Y \neg Z = X(Y \vee \neg Y)(Z \vee \neg Z) \vee (X \vee \neg X)\neg Y \neg Z = XYZ \vee X \neg YZ \vee XY \neg Z \vee X \neg Y \neg Z \vee X \neg Y \neg Z \vee \neg X \neg Y \neg Z =$

$= XYZ \vee X \neg YZ \vee XY \neg Z \vee X \neg Y \neg Z \vee \neg X \neg Y \neg Z$

Таким образом, из ДНФ получили СДНФ.

Формальная грамматика, описывающая ДНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к ДНФ:

<ДНФ> → <конъюнкт>

<ДНФ> → <ДНФ> ∨ <конъюнкт>

<конъюнкт> → <литерал>

<конъюнкт> → (<конъюнкт> ∧ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

См. также

• Конъюнктивная нормальная форма
• Дистрибутивность
• Нормальная форма (математика)
• Закон двойного отрицания
• Законы де Моргана

Примечания

1. ↑ Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

Литература

• Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование)

Ссылки

• ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ
• Disjunctive Normal Form
• Дизъюнктивная и Конъюнктивная нормальные формы