Подмногообразие

Подмногообразие ― термин используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии и дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Топологическое подмногообразие

В узком смысле слова топологическое $n$-мерное подмногообразие $N$ топологического $m$-мерного многообразия $M$ ― такое подмножество $N\subset M$, которое в индуцированной топологии является $n$-мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое $n$-мерное подмногообразие топологического $m$-мерного многообразия $M$ ― такое $n$-мерное многообразие $N$, которое как множество точек является подмножеством $M$ (иными словами, $N$ ― это подмножество $M$, снабженное структурой $n$-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение $i:N\to M$ является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда $i$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки $p\in N$ имеется сколь угодно малые окрестности в $N$, являющиеся пересечениями с $N$ некоторых окрестностей в $M$).

Связанные определения

• Число $m-n$ называется коразмерностью подмногообразия $N$.
• Подмножество $N\subset M$ является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки $p\in N$ имеются такая окрестность $U$ этой точки в $M$ и такие локальные координаты $x_1,x_2,...,x_m$ в ней, что в терминах этих координат $N\cap U$ описывается уравнениями $x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0$.
  • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от $\R$ к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.