Функция Мертенса

В теории чисел, функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой

$M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)$

где $\mu(k)~$ — функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь Франца Мертенса.

Другими словами, $M(n)~$ — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих четное число множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечетное число множителей. Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях n:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 ... последовательность A028442 в OEIS.

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения $-1,0,1~$, функция Мертенса изменяется медленно: для всех n верно, что $|M(n)| \leqslant n~$. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех n абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из n: $|M(n)| \leqslant \sqrt{n}~$. Однако, гипотеза Мертенса оказалась не верна, как показали в 1985 году Эндрю Одлызко (англ.) и Герман те Риеле (англ.). Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте $M(n)~$, а именно $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})~$. Поскольку наибольшие значения $M(n)~$ растут как минимум так же быстро, как и корень из n, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса. Здесь, O обозначает O большое.

Определение выше может быть расширено на все действительные числа следующим образом:

$M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).$

Представления

Как интеграл

Используя произведение Эйлера получаем, что

$\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s},$

где $\zeta(s)~$ - это Дзета-функция Римана, а произведение берется по всем простым p. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, мы получаем:

$\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),$

где C - замкнутая кривая, окружающая все корни $\zeta(s).~$

Для обращения применяем преобразование Меллина

$\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,$

которое сохраняется при $\Re(s)>1~$.

Следующее любопытное соотношение, содержащее вторую функцию Чебышева, было получено самим Мертенсом:

$\Psi (x) = M\left( \frac{x}{2}\right) \ln 2+M\left( \frac{x}{3}\right) \ln 3 + M\left( \frac{x}{4}\right )\ln 4 +\cdots.$

Хорошее приближение, как минимум асимптотическое, можно получить, используя метод перевала:

$\oint\limits_C F(s)e^{st} ds \sim M(e^{t}).$

Предполагая, что существуют некратные нетривиальные корни $\zeta (\rho)~$ мы получаем "точную формулу" по теореме вычетов:

$\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.$

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

$\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac{x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),$

где $H(x)~$ - функция Хевисайда, $B_{2r}~$ - числа Бернулли, и все производные по t вычисляются при $t=0~$.

Титчмарш (1960) доказал следовую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,$

где t в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а $(g, h)~$ связаны преобразованием Фурье, так что

$\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.$

Как сумма через последовательность Фарея

Другая формула для функции Мертенса

$M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a},$

где $\mathcal{F}_n$ - последовательность Фарея порядка n.

Эта формула испольуется в доказательстве теореме Франеля Ландау.^[1]

Как определитель

$M(n)~$ равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка $n \times n~$, в которой $a_{ij}=1~$ тогда и только тогда, когда $j=1~$ или $i \mid j$.

Вычисление

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов n.

Person	Year	Limit
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1.5·105
von Sterneck	1901	5·105
von Sterneck	1912	5·106
Neubauer	1963	108
Cohen and Dress	1979	7.8·109
Dress	1993	1012
Lioen and van de Lune	1994	1013
Kotnik and van de Lune	2003	1014

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих N, может быть вычислена за время $O(N^{1+\varepsilon})~$. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение $M(N)~$ за время $O(N^{2/3+\varepsilon})~$.

Замечания

1. ↑ Edwards, Ch. 12.2

Литература

• Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — ИЛ, 1953.

См. также

• Формула Перрона

Ссылки

• Edwards Harold Riemann's Zeta Function. — Mineola, New York: Dover, 1974. — ISBN 0-486-41740-9
• F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
• A. M. Odlyzko and Herman te Riele, "Disproof of the Mertens Conjecture", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138–160.
• Weisstein, Eric W. Mertens function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Шаблон:SloanesRef
• Deleglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Mobius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447