Функции Чебышева

Функции Чебышева

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции \theta(x) и \psi(x), определенные как

\theta(x)=\sum\limits_{p\leqslant x}\ln p

и

\psi(x)=\sum\limits_{p^m\leqslant x}\ln p,

где p — простые числа, m — натуральное число. Эти функции связаны с распределением простых чисел. Они были введены Чебышёвым.

Свойства

  • Определение пси-функции Чебышёва может записано через функцию Мангольдта: \psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n).
  • Функции Чебышёва связаны соотношением \psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+..., откуда следует асимптотическое соотношение \psi(x)=\theta(x)+O(\sqrt{x})
  • Потенцирование дает: e^{\psi(x)}=\operatorname{lcm}(1,2,...,[x]), e^{\theta(x)}=\prod\limits_{p\leqslant x}p
  • Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: \psi(x)\sim\theta(x)\sim\pi(x)\ln x.

См. также

Литература

  • ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА.
  • Прахар Распределение простых чисел.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Функции Чебышева" в других словарях:

  • ЧЕБЫШЕВА ФУНКЦИИ — функции положительного аргумента х, определяемые следующим образом: Первая сумма берется по всем простым числам а вторая по всем положительным целым степеням простых чисел р, таким, что Функция может быть выражена через Манголъдта функцию Из… …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ — о простых числах теоремы 1) 8) о распределении простых чисел, доказанные П. Л. Чебышевым [1] в 1848 50. Пусть число простых чисел, не превосходящих x, т целое p простое число, ln и натуральный логарифм и, 1) Для любого тсумма ряда имеет конечный… …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМА — если функция f(х) непрерывна на [ а, b]и то Р п (х)тогда и только тогда является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f(x), т. е. когда существуют п+2 точки { х i}, образующие чебышиевский альтернаис то есть удовлетворяющие …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА УРАВНЕНИЕ — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, здесь а константа. Ч. у. представляет собой частный случай гипергеометрического уравнения. Точки х= 1 и х=1 являются регулярными особыми… …   Математическая энциклопедия

  • Чебышева неравенство —         1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей                   и                   оно имеет вид:                   а в интегральной форме ― вид:                  … …   Большая советская энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА МЕТОД — метод получения класса итерационных алгоритмов нахождения однократного действительного корня уравнения f(x)=0, (1), где f(х) достаточно гладкая функция. В основе метода лежит формальное представление обратной к f(х)функции x=F(y)пo формуле… …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМА — о дифференциальном биноме: неопределенный интеграл от дифференциального бинома х т( а + bxn)p, где . и b действительные числа, m, п, р рациональные, не выражается через элементарные функции при любых т, п, р, кроме случаев, когда р,( т+1)/п,( т+… …   Математическая энциклопедия

  • Фильтр Чебышева — Линейные электронные фильтры Фильтр Баттерворта Фильтр Чебышева Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора …   Википедия

  • Многочлены Чебышева — Многочлены Чебышева  две последовательности ортогональных многочленов и , названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева. Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода… …   Википедия

  • Неравенство Чебышева для сумм — В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева  см. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если и то …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»