Симметричная булева функция

В математике, симметричной булевой функцией называется такая булева функция, значение которой не зависит от перестановки её входных бит, а зависит только от количества единиц на входе.^[1]

Из определения следует, что вместо таблицы истинности, традиционно используемой для представления булевых функций, можно использовать более компактное представление для симметричных булевых функций от n переменных: в виде (n + 1)-вектора, в i-ой позиции которого (i = 0, ..., n) записано значение функции для всех входных векторов, содержащих i единиц.

Особые случаи

Особыми случаями симметричных булевых функций являются:^[1]

• Пороговые функции: принимают значение 1 на всех входных векторах, имеющих k или более единиц для заданного k
• Функции точного значения: принимают значение 1 на всех входных векторах, имеющих ровно k единиц для заданного k
• Функции счетчики : принимают значение 1 на всех входных векторах, количество единиц в которых сравнимо с k по модулю m для заданных k и m
• Функции четности: принимают значение 1 на всех входных векторах с четным числом единиц.

References

1. ↑ ^{1 2} Ingo Wegener, "The Complexity of Symmetric Boolean Functions", in: Computation Theory and Logic, Lecture Notes in Computer Science, vol. 270, 1987, pp. 433-442