Примитивный многочлен (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Примитивный многочлен.

В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен $f(x)\in R[x]$, где $R$ — ассоциативно-коммутативное кольцо с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен $g(x)\in R[x]$ можно записать в виде $g(x)=c_g\cdot f(x)$, где $f(x)$ — примитивный многочлен, a $c_g$ — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена $g(x)$. Элемент $c_g\in R$, определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена $g(x)$.

Свойства

• Лемма Гаусса: если $g_1(x),g_2(x)\in R[x]$, то $c_{g_1g_2}=c_{g_1}c_{g_2}$.
  • В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.

Литература

• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М.