Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа $\alpha$ — это действительное число $\mu$, показывающее, насколько хорошо $\alpha$ может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть $\alpha$ — действительное число, и пусть $M(\alpha)$ — множество всех чисел $\mu$ таких, что неравенство $\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\mu}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q>0$, для несократимых $\frac{p}{q}$. Тогда мера иррациональности $\mu(\alpha)$ числа $\alpha$ определяется как точная нижняя грань $\inf M(\alpha)$. Формально

$M(\alpha)=\{\mu>0:(\exists q_0=q_0(\mu,\alpha))(\forall p,q\in\mathbb{Z})q>q_0\Rightarrow \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{\mu}}\}$

и $\mu(\alpha)=\inf M(\alpha)$. Если $M(\alpha)=\varnothing$, то полагают $\mu(\alpha)=+\infty$.

Другими словами, $\mu$ — наименьшее число такое, что для любого $\epsilon > 0$ для всех рациональных приближений $p/q$ с достаточно большим знаменателем верно, что $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{1}{q^{\mu+\epsilon}}$.

Возможные значения меры иррациональности

• $\mu(\alpha) = 1$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ — рациональное число.
• Если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu(\alpha) = 2$.
• Если $\alpha$ — трансцендентное число, то $\mu(\alpha)\geqslant 2$. В частности, если $\mu(\alpha) = +\infty$, то число $\alpha$ называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если $\alpha = [a_0; a_1; a_2; ...]$ — разложение числа $\alpha$ в цепную дробь, и $\frac{p_n}{q_n}$ — n-ая подходящая цепная дробь, то

$\mu(\alpha) = 1 + \limsup\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n} = 2 + \limsup\limits_{n \to+ \infty} \frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}.$

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения $\phi = [1; 1, 1, \ldots]$, и тогда $\mu(\phi) = 2$.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если $\alpha$ иррационально, то $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}$, то есть $\mu(\alpha) \geqslant 2$. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа $\alpha$ степени $n$ можно подобрать константу $c = c(\alpha)$ такую, что $\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c}{q^n}$. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота (англ.)русск.. Она утверждает, что если $\alpha$ — алгебраическое иррациональное число, то $\mu(\alpha) = 2$. Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.

Верхние оценки меры иррациональности некоторых трансцендентных чисел

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что $\mu \left( e \right) = 2$, а числа Лиувилля имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. К примеру:

• $\mu \left( e \right) = 2$
• $\mu \left( \pi \right) \leqslant 7,6063$
• $\mu \left( \pi^2 \right) \leqslant 5,441243$
• $\mu \left( \tfrac{\pi}{\sqrt{3}} \right) \leqslant 4,6016$
• $\mu \left( \ln 2 \right) \leqslant 3,57455391$
• $\mu \left( \zeta \left( 3 \right) \right) \leqslant 5,513891$

См. также

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
• Число Лиувилля
• Цепная дробь

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.