- Лемма Золотарёва
-
В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра
для целого по модулю нечётного простого числа р, которое не разделяет a, можно вычислить как знак перестановки:
где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученных умножением на a .
Содержание
Доказательство из леммы Гаусса
Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,
- ,
является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества {1,2, …, р-1} в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например:
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 Применим перестановку (mod р):
3 6 9 1 4 8 5 2 10 7 Столбцы еще обладают тем свойством, что сумма двух элементов в одном столбце равна нулю по модулю р. Теперь применим подстановку V , которая поменяет местами любые две пары, в которых верхний член был изначально нижним членом:
3 5 2 1 4 8 6 9 10 7 Наконец, применим перестановку W, которая вернёт обратно исходную матрицу:
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 Таким образом, W−1 = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 если и только если перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1, если и только если V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.
История
Эта лемма была введена русским математиком Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в доказательстве квадратичной взаимности.
См. также: Лемма ГауссаПримечания
- Zolotareff G. (1872). «Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre». Nouvelles Annales de Mathématiques 11: 354–362.
Ссылки
- Статья на ресурсе PlanetMath о лемме Золотарёва; включает его доказательство квадратичной взаимности.
Категории:- Теория чисел
- Леммы
Wikimedia Foundation. 2010.