Центросимметричная матрица

Центросимметри́чная ма́трица (ЦС-матрица) — квадратная матрица $A = \begin{bmatrix} a & \cdots & b \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b & \cdots & a\\ \end{bmatrix}$ порядка n, элементы которой связаны соотношением a_ij = a_{n+1−i, n+1−j} (элементы симметричны относительно геометрического центра матрицы). Частным случаем ЦС-матриц является класс биссиметричных матриц.

Свойства ценросимметричных матриц

1. В множестве матриц порядка n ЦС-матрицы образуют подмножество, замкнутое относительно операций сложения, умножения и транспонирования (как следствие, данное подмножество образует кольцо).
2. Матрица, обратная к ЦС-матрице, сама является ЦС-матрицей.
3. Множество ЦС-матриц порядка n с определителем, не равным нулю, образует группу по отношению к операции умножения.

Универсальное преобразование ЦС-матриц к блочно-диагональному виду

Для ЦС-матриц найдено универсальное ортогональное преобразование в явном виде, которое приводит любую ЦС-матрицу к блочно-диагональной. Преобразование имеет вид U⁻¹AU, где U является матрицей преобразования того же порядка, что и A. Данное преобразование позволяет упростить процесс вычисления собственных элементов ЦС-матрицы.

Ссылки

• Muir Thomas A Treatise on the Theory of Determinants. — Dover, 1960. — P. 19. — ISBN 0-486-60670-8
• Weaver, J. R. (1985). «Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors». American Mathematical Monthly 92 (10): 711–717. DOI:10.2307/2323222.