Функция Розенброка

График функции Розенброка для двух переменных.

Функция Розенброка (англ. Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Ховардом Розенброком (англ.) в 1960 году^[1]. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1)^[2].

Каноническое определение

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки $(x, y)=(0, 0)$.

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

$f(x, y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 .\quad$

Она имеет глобальный минимум в точке $(x, y)=(1, 1)$ где $f(x, y)=0$.

Многомерное обобщение

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма $N/2$ несвязанных двумерных функций Розенброка:

$f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N/2} \left[100(x_{2i-1}^2 - x_{2i})^2 + (x_{2i-1} - 1)^2 \right].$^[3]

Более сложным вариантом является:

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{N-1} \left[ (1-x_i)^2+ 100 (x_{i+1} - x_i^2 )^2 \right] \quad \forall x\in\mathbb{R}^N.$^[4]

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное англ. Xin-She Yang^[5]:

$f(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{n-1} \Big[(1-x_i)^2+100 \epsilon_i (x_{i+1}-x_i^2)^2 \Big],$

где случайные переменные $\epsilon_i (i=1,2,...,n-1)$ являются непрерывно распределёнными Unif(0,1).

См. также

• Градиентный спуск
• Метод Нелдера — Мида

Примечания

1. ↑ Rosenbrock, H.H. (1960). «An automatic method for finding the greatest or least value of a function». The Computer Journal 3: 175–184. DOI:10.1093/comjnl/3.3.175. ISSN 0010-4620.
2. ↑ Жилинискас А., Шатлянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 14, ISBN 5-02-006737-7
3. ↑ L C W Dixon, D J Mills. Effect of Rounding errors on the Variable Metric Method. Journal of Optimization Theory and Applications 80, 1994. [1]
4. ↑ Generalized Rosenbrock's function. Архивировано из первоисточника 3 сентября 2012. Проверено 16 сентября 2008.
5. ↑ Yang X.-S. and Deb S., Engineering optimization by cuckoo search, Int. J. Math. Modelling Num. Optimisation, Vol. 1, No. 4, 330—343 (2010).

Литература

• Методические указания к исследовательской лабораторной работе по дисциплине «Математические основы кибернетики» // Крушель Е. Г., Степанченко О. В.
• Rosenbrock, H. H. (1960), "«An automatic method for finding the greatest or least value of a function»", The Computer Journal Т. 3: 175-184, MR0136042, ISSN 0010-4620, DOI 10.1093/comjnl/3.3.175 

Ссылки

• Rosenbrock function plot in 3D (англ.).
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher, The Wolfram Demonstrations Project (англ.).
• Weisstein, Eric W. Rosenbrock Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
• Solving non-linear models with Compact Quasi Newton solver part 1 (англ.).