Теорема котангенсов

Общий вид треугольника

В тригонометрии, теорема котангенсов связывает радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Пусть a, b и c — длины трёх сторон треугольника, α, β, и γ — это углы, лежащие напротив, соответственно, сторон a, b и c.

Теорема котангенсов утверждает, что если

$r = \sqrt{\frac{1}{p} (p-a)(p-b)(p-c)}$ (радиус вписанной окружности треугольника) и

$p = \frac{a+b+c}{2 }$ (полупериметр треугольника),

то справедливы следующие формулы:^[1]

$\mathrm{ctg}{ \frac{A}{2 }} = \frac{p-a}{r}$

$\mathrm{ctg}{ \frac{B}{2 }} = \frac{p-b}{r}$

$\mathrm{ctg}{ \frac{C}{2 }} = \frac{p-c}{r}$

отсюда следует, что

$\frac{\mathrm{ctg}(A/2)}{p-a} = \frac{\mathrm{ctg}(B/2)}{p-b} = \frac{\mathrm{ctg}(C/2)}{p-c}.$

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

См. также

• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Теорема тангенсов
• Формула Герона

Примечания

1. ↑ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.