Стандартный квантовый предел

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Станда́ртный ква́нтовый преде́л (СКП) в квантовой механике — ограничение, накладываемое на точность непрерывного или многократно повторяющегося измерения какой-либо величины, описываемой оператором, который не коммутирует сам с собой в разные моменты времени. Предсказан в 1967 году В. Б. Брагинским^[1], а сам термин Стандартный квантовый предел (англ. Standard Quantum Limit, SQL) был предложен позднее Торном. СКП тесно связан с соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Примером стандартного квантового предела является квантовый предел измерения координаты свободной массы или механического осциллятора. Измерим в некоторый начальный момент времени координату объекта с некоторой точностью $\Delta x_0$. При этом в процессе измерения телу будет передан случайный импульс (обратное флуктуационное влияние) $\Delta p_0$. И чем точнее измеряется координата, тем больше возмущение импульса. В частности, если измерение координаты производится оптическими методами по сдвигу фаз отраженной от тела волны, то возмущение импульса будет вызвано квантовыми дробовыми флуктуациями давления света на тело. Чем точнее требуется измерить координату, тем больше требуемая оптическая мощность, и тем больше квантовые флуктуации числа фотонов в падающей волне.

Согласно соотношению неопределенностей возмущение импульса тела:

$\Delta p_0=\frac{\hbar}{2\Delta x_0},$

где $\hbar$ — приведённая постоянная Планка. Это изменение импульса и связанное с ним изменение скорости свободной массы приведет к тому, что при повторном измерении координаты через время $\tau$ она дополнительно изменится на величину.

$\Delta x_{add}=\frac{\Delta p_0\tau}{m}=\frac{\hbar \tau}{2\Delta x_0 m}$

Результирующая среднеквадратичная ошибка определяется соотношением:

$(\Delta X_\Sigma)^2= (\Delta x_0)^2+(\Delta x_{add})^2=(\Delta x_0)^2+\left(\frac{\hbar \tau}{2m\Delta x_0}\right)^2$

Это выражение имеет минимальное значение, если

$(\Delta x_0)^2 = \frac{\hbar \tau}{2m}.$

При этом достигается среднеквадратичная точность измерения, которая и называется стандартным квантовым пределом для координаты.

$\Delta X_\Sigma=\Delta X_{SQL} = \sqrt{\frac{\hbar \tau}{m}}.$

Зависимость добавленных флуктуаций координаты от измерений в предыдущие моменты времени и означает, что оператор координаты в разные моменты времени не коммутирует сам с собой. Если вместо координаты свободной массы измерять ее импульс, то это не приведет к изменению импульса в последующие моменты времени. Поэтому импульс, который является сохраняющейся величиной для свободной массы (но не для осциллятора) можно измерять сколь угодно точно. Такие измерения называются квантово-невозмущающими.

Другим способом обхода стандартного квантового предела является использование в оптических измерениях неклассических сжатых состояний поля и вариационных измерений.

СКП ограничивает разрешение лазерных гравитационных антенн LIGO. В настоящее время в ряде физических экспериментов с механическими микро и наноосцилляторами достигнута точность измерения координаты, соответствующая стандартному квантовому пределу.

Стандартный квантовый предел для координаты механического осциллятора определяется соотношением:

$\Delta X_{SQL} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_m}},$

где $\omega_m$ — частота механических колебаний.

Стандартный квантовый предел для энергии осциллятора:

$\Delta E_{SQL} = \sqrt{\hbar\omega_m E},$

где $E$ — средняя энергия осциллятора.

Ссылки

• В. Б. Брагинский и С. П. Вятчанин, Квантовые и прецизионные измерения
• V. B. Braginsky, F. Ya. Khalili, «Quantum Measurement», Cambridge University Press, 1992.
• Standard Quantum Limit in Encyclopedia of Laser Physics and Technology

См. также

• Квантовая механика
• Соотношение неопределенностей

Примечания

1. ↑ В. Б. Брагинский, Классические и квантовые ограничения при обнаружении слабых воздействий на макроскопический осциллятор, Журнал экспериментальной и теоретической физики, 53, 1434—1441 (1967)