Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование $\ H_u$ векторного пространства $\ V$, которое описывает его отображение относительно гиперплоскости, которая проходит через начало координат.

Было предложено в 1958 американским математиком Элстоном Скоттом Хаусхолдером.

Широко применяется в линейной алгебре для QR разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором $\ u$, который ортогонален ей, а $\langle \cdot, \cdot \rangle$ — скалярное произведение в $\ V$, тогда

$\ H_u(x) = x - 2\langle x,u \rangle u$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

$\ H = I - 2 u u^*.$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: $\ H = H^*.$
• Матрица Хаусхолдера является унитарной: $\ H^* H = I.$
• Значит она является инволюцией: $\ H^2 = I.$.
• Преобразование $\ H_u(x)$ отображает точку $\ x$ в точку $\ x - 2\langle u,x\rangle u.$
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение равное (-1), которое отвечает собственному вектору $\ u,$, все другие собственные значения равны (+1).
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен (-1).

Источники

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947
• http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html