Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть $(\mathbb{X},d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $T\colon\mathbb{X} \mapsto \mathbb{X}$ — сжимающее отображение на $\mathbb{X}$, то есть существует число $0 \leqslant \alpha <1$ такое, что

$d(Tx,Ty) \leqslant \alpha d(x,y)$

для всех $\mathbb{}x,y$ из $\mathbb{X}$. Тогда у отображения $\mathbb{}T$ существует, и притом ровно одна неподвижная точка $\mathbb{}x^*$ из $\mathbb{X}$ (неподвижная означает $\mathbb{}Tx^*=x^*$).

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число $\alpha$ равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный ${x\in\mathbb{X}}$ и рассмотрим последовательность $x_1=Tx,x_2=Tx_1,\dots,x_{n+1}=Tx_n$. Получим $\{x_n\}$. Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

$d(x_1,x_2)=d(Tx,Tx_1)\leqslant\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),$

$d(x_2,x_3)=d(Tx_1,Tx_2)\leqslant\alpha d(x_1,x_2)={\alpha}^{2} d(x,Tx),$

$\dots,$

$d(x_n,x_{n+1})=d(Tx_{n-1},Tx_n)\leqslant\alpha d(x_{n-1},x_n)={\alpha}^{n} d(x,Tx)$.

Таким образом, по неравенству треугольника для

$\forall n,p \in\N \quad d(x_n,x_{n+p}) \leqslant d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+p}) \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+d(x_{n+2},x_{n+p}) \leqslant \dots$

$\dots \leqslant d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+p-1},x_{n+p})\leqslant$

$\leqslant {\alpha}^{n}d(x,Tx) + {\alpha}^{n+1}d(x,Tx) + \dots + {\alpha}^{n+p-1}d(x,Tx) = ({\alpha}^{n}+{\alpha}^{n+1}+\dots+{\alpha}^{n+p-1})d(x,Tx) \leqslant\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx)$.

Но $\frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} \to 0$ при $n \to \infty$, значит для $\varepsilon > 0 \quad\exists N\colon\forall n \geqslant N \to \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha} < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}$.

Таким образом, для $\varepsilon > 0 \quad \exists N\colon\forall n > N, \forall p \in\N\colon d(x_n,x_{n+p}) \leqslant \frac{{\alpha}^{n}}{1-\alpha}d(x,Tx) < \frac{\varepsilon}{d(x,Tx)+1}d(x,Tx) < \varepsilon$.

Значит $\mathbb{}\{x_n\}$ фундаментальна. Но так как $\mathbb{X}$ полно, то $\exists x^* \in \mathbb{X}\colon\lim_{n \to \infty}x_n = x^*$. Тогда берём $x_{n+1}=Tx_n$ и переходим к пределу, так как сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.

Докажем единственность. Предположим обратное, то есть пусть $\exists y^* \in \mathbb{X}\colon y^*=Ty^* \Rightarrow d(x^*,y^*) =$ (так как $x^*$ и $y^*$ — неподвижные точки) $d(Tx^*,Ty^*) \leqslant\alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant \alpha d(x^*,y^*) \Rightarrow (1-\alpha)d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow d(x^*,y^*) \leqslant 0 \Rightarrow x^*=y^*$. Таким образом, доказана и единственность

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.