Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятности - это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

Определения

• Матрица $P = (P_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots$ называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

$P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots$ и $\sum\limits_{j=1}^{\infty} P_{ij} = 1, \quad \forall i$.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

$P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots$ и $\sum\limits_{i=1}^{\infty} P_{ij} = 1,\quad \forall j$.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Cвойства

• Если $P$ и $Q$ - две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R = P Q$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица $P = (P_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N$ называется регуля́рной, если cуществует такое $n \in \mathbb{N}$, что

$p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N$,

где $p^{(n)}_{ij}$ - элементы $n$-ой степени матрицы $P$, то есть $P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right)$.

Эргодическая теорема

Если $P$ - регулярная стохастическая матрица, то найдется вектор $\mathbf{\pi} = (\pi_1,\ldots,\pi_N)$ такой, что

$P^n \to \mathbf{1}^{\top} \mathbf{\pi}$,

где $\mathbf{1} = (1,\ldots, 1)$ - вектор размерности $N \times 1$, состоящий из единиц.