- Область определения функции
-
Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.
Содержание
Определение
Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.
Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда
- множество называется областью определения функции
- и обозначается , или (от англ. domain «область»).
Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции — это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции .
Этот факт коротко записывают в виде: .
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ;
- а, также, комплекснозначные функции комплексного переменного это функции вида ,
где и — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции совпадает с областью отправления ( или ).
Гармоническая функция
Область определения функции : представляет собой комплексную плоскость без нуля
и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).
Дробно-рациональные функции
Область определения дробно-рациональной функции вида
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
- .
Эти точки называются полюсами функции .
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть — семейство отображений из множества в множество . Тогда можно определить отображение вида . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию , которая принимает в «точке» то же значение, что и сама функция в точке .
См. также
Литература
- Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- ISBN 5-02-014844-X
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
- А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Добавить иллюстрации.
Категория:- Функции
Wikimedia Foundation. 2010.