Гипотеза Пойа

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Гипотеза Пойа — математическая гипотеза из области теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойа в 1919 году и опровергнутая в 1958 году. Значение самого маленького контрпримера часто используется как иллюстрация к факту, что математическая гипотеза может быть ложной несмотря на её действительность для очень многих чисел.

Гипотеза Пойа утверждает, что большинство натуральных чисел, меньших любого заранее заданного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей. Иначе говоря, гипотеза утверждает, что

$L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0$

для любого n. Здесь λ(k) = (−1)^Ω(k) — функция Лиувилля, где Ω(k) — число простых множителей, на которые разлагается k.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно 1,845 × 10³⁶¹. Первый конкретный контрпример был найден Шерман-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример, 906 150 257.

Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079. Максимум, которого достигает L(n) в этом регионе — 829 (для n=906 316 571).