Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Построение

Пусть $(X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2$ — два пространства с мерами. Тогда $X_1\times X_2$ — декартово произведение множеств $X_1$ и $X_2$.

$\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ является семейством подмножеств $X_1\times X_2$. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является $\sigma$-алгеброй. Введём обозначение

$\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2)$

— минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$. Тогда $(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2)$ — измеримое пространство. Определим на нём меру $\mu_1\otimes\mu_2\colon\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2\to\R$ следующим образом:

$\mu_1\otimes\mu_2(A)=\mu_1(A_1)\cdot\mu_2(A_2),\quad\forall A=A_1\times A_2\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2.$

Тогда $\mu_1\otimes\mu_2$ продолжается единственным образом с $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2$ на $\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$:

$\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_2}\mu_1(A_{x_2})\,\mu_2(dx_2),\quad A\in\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2$

или

$\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_1}\mu_2(A_{x_1})\,\mu_1(dx_1),$

где

$A_{x_2}=\{x_1\in X_1\mid(x_1,\;x_2)\in A)\}$ — сечение $A$ вдоль $x_2\in X_2$, а

$A_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid(x_1,\;x_2)\in A)\}$ — сечение $A$ вдоль $x_1\in X_1$.

Получившаяся мера $\mu_1\otimes\mu_2$ называется произведением мер $\mu_1$ и $\mu_2$. Пространство с мерой $(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2)$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

• Если $(\Omega_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mathbb{P}_i),\;i=1,\;2$ — два вероятностных пространства, то $(\Omega_1\times\Omega_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2)$ называется их произведением.
• Если $X,\;Y\colon\Omega\to\R$ — случайные величины, то $\mathbb{P}^X,\;\mathbb{P}^Y$ — распределения на $\R$ $X$ и $Y$ соответственно, а $\mathbb{P}^{X,\;Y}$ — распределение на $\R^2$ случайного вектора $(X,\;Y)^{\top}$. Если $X,\;Y$ — независимы, то

$\mathbb{P}^{X,\;Y}=\mathbb{P}^X\otimes\mathbb{P}^Y.$

Пример

Мера Лебега $m_n$ на $\R^n$ может быть получена как произведение $n$ одномерных мер Лебега $m_1$ на $\R$:

$\mathcal{B}(\R^n)=\bigotimes\limits_{i=1}^n\mathcal{B}(\R),$

где $\mathcal{B}(X)$ обозначает борелевскую $\sigma$-алгебру на пространстве $X$, и

$m_n=\bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.$

См. также

• Теорема Тонелли — Фубини.