Парадокс Паррондо

Парадо́кс Парро́ндо — парадокс в теории игр, который обычно характеризуют как проигрышную стратегию, которая выигрывает. Парадокс назван в честь его создателя, Хуана Паррондо, испанского физика. Утверждение парадокса выглядит следующим образом:

Возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры.

Парадокс заключается в следующем: играя в две специально подобранные игры А и Б, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно. То есть, играя в одну игру, в которой на 5 проигрышей выпадает 4 выигрыша, игрок неизбежно проиграет по итогам большого количества розыгрышей. Затем, играя в другую, в которой на 10 проигрышей выпадает 9 выигрышей, игрок также проиграет. Но если чередовать эти игры, например АББАББ и т. п., то общая вероятность выигрыша будет больше вероятности проигрыша.

Условием возникновения парадокса Паррондо является связь между результатами игр А и Б.

Вариант с капиталом игрока

Связь двух игр может осуществляться через текущий капитал игрока.

Пусть игра А такова, что игрок выигрывает 1 € с вероятностью $50\,\%-\varepsilon$ (с положительным, достаточно малым $\varepsilon$) и проигрывает 1 € с вероятностью $50\,\%+\varepsilon$. Математическое ожидание результата такой игры, очевидно, равняется $-2\varepsilon$, то есть отрицательно.

Игра Б является комбинацией двух игр — Б1 и Б2. Если капитал игрока в начале игры Б кратен 3, то он играет в Б1, иначе — в Б2.

Игра Б1: игрок выигрывает 1 € с вероятностью $10\,\%-\varepsilon$, проигрывает с вероятностью $90\,\% + \varepsilon$.

Игра Б2: игрок выигрывает 1 € с вероятностью $75\,\%-\varepsilon$, проигрывает с вероятностью $25\,\% + \varepsilon$.

При некоторых значениях $\varepsilon$ игра Б также обладает отрицательным ожиданием результата (например, при $\varepsilon = 0{,}005$).

Можно видеть, что некоторые комбинации игр А и Б обладают положительным ожиданием результата. Например (с указанным значением $\varepsilon$):

• Случайно выбирая каждый раз игру между А и Б, мы получим ожидание результата 0,0147.
• Играя поочерёдно 2 раза А, затем 2 раза Б, получаем ожидание результата 0,0148.

Вариант с блокировкой игры

Связь может также осуществляться ссылкой правил на общий предмет.

Пусть перед игроком имеется жетон с двумя сторонами — белой и чёрной.

Игра А — игрок бросает монетку:

• если жетон обращён белой стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 €;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 € и переворачивает жетон другой стороной.
• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 €;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 €.

Игра Б — игрок бросает монетку:

• если жетон обращён чёрной стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 3 €;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 1 € и переворачивает жетон другой стороной.
• если жетон обращён белой стороной к игроку,
  • если выпал «орёл», то игрок получает 1 €;
  • если выпала «решка», то игрок теряет 2 €.

Очевидно, что играя в одну из этих игр, игрок в среднем будет проигрывать, играя же в эти игры поочерёдно (или каждый раз выбирая случайным образом одну из двух игр), игрок получает возможность выбраться из неблагополучной для него конфигурации.

См. также

• Список парадоксов
• Juan M.R. Parrondo

Примечания

Ссылки