Модель авторегрессии — скользящего среднего

Модель авторегрессии — скользящего среднего

Модель авторегрессии — скользящего среднего (англ. autoregressive moving-average model, ARMA) — одна из математических моделей, использующихся для анализа и прогнозирования стационарных временных рядов в статистике. Модель ARMA обобщает две более простые модели временных рядов — модель авторегрессии (AR) и модель скользящего среднего (MA).

Определение

Моделью ARMA(p, q), где p и q — целые числа, задающие порядок модели, называется следующий процесс генерации временного ряда {X_t}:

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \alpha_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \beta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

где c — константа, $\{ \varepsilon_t \}$ — белый шум, то есть последовательность независимых и одинаково распределённых случайных величин (как правило, нормальных), с нулевым средним, а $\alpha_1, \ldots, \alpha_p$ и $\beta_1, \ldots, \beta_q$ — действительные числа, авторегрессионные коэффициенты и коэффициенты скользящего среднего, соответственно.

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка — скользящие средние из элементов белого шума. ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению AR- или MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ.^[1]

Построение модели

Для построения модели ARMA по серии наблюдений необходимо определить порядок модели (числа p и q), а затем и сами коэффициенты. Для определения порядка модели может применяться исследование таких характеристик временного ряда, как его автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция. Для определения коэффициентов применяются такие методы, как метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия.

Примечания

1. ↑ Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие для вузов. — Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

См. также

• Модели ARIMA