- Теорема Кэли (теория групп)
-
В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G.
Пример
Рассмотрим группу , с заданной операцией + . Найдём её отображение в , т.е. найдём подгруппу изоморфную .
Определим отображение
Построение это не случайное. Для примера рассмотрим . Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру, задаёт тождественное отображение . В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию , т.е. получим , т.е. нижняя строчка перестановки идентична верхней.
Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 0. Перестановка задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 1. задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 2. задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы .
Обратите внимание, отображение является гомоморфизмом. К примеру, . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.
Доказательство теоремы
Пусть конечная группа порядка . Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию , где является собранием перестановок G. Группу определяем с помощью умножения слева (в примере приведённом выше это была операция сложения в ).
Докажем, что мы получили перестановку. Если , то , т.к. G группа, в частности все её элементы обратимы (существует ). Кроме того, действие на элемент группы x равняется и это равняется в виду ассоциативности G. Наконец, если то тогда и поэтому является инъективной (1-1).
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.