Среднее значение функции

У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема в интервале $(a,b)$, то существует точка $c$, принадлежащая интервалу $(a,b)$, такая, что $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, а $\varphi(x)$ сохраняет постоянный знак, то существует точка $c$ из интервала $(a,b)$ такая, что

$\int\limits_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(c) \int\limits_a^b \varphi(x) dx.$

В частности, если $\varphi(x)=1$, то

$\int\limits_a^b f(x) dx = f(c) (b-a).$

Вследствие этого под средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ обычно понимают величину

$\overline{f} = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^b f(x) dx.$

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

См. также

• Средние Колмогорова
• Первая теорема о среднем
• Математическое ожидание