- Обратная функция
-
Не следует путать с Обратная величина.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Содержание
Определение
Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:
- для всех
- для всех
Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.
Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .
Примеры
- Если , где то
- Если , где фиксированные постоянные и , то
- Если , то
Свойства
- Областью определения является множество , а областью значений множество .
- По построению имеем:
или
- ,
- ,
или короче
- ,
- ,
где означает композицию функций, а — тождественные отображения на и соответственно.
- Функция является обратной к :
- .
- Пусть — биекция. Пусть её обратная функция. Тогда графики функций и симметричны относительно прямой .
Разложение в степенной ряд
Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:
где коэффициенты задаются рекурсивной формулой:
См. также
Категория:- Функции
Wikimedia Foundation. 2010.