Функция ограниченной вариации

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в $\R^n$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в $\R^n$ этой функцией.

Определение

Пусть $f:[a,\;b]\to\R^n$. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции f на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:

$V_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_P\sum\limits_{k=0}^m\|f(x_{k+1})-f(x_k)\|,$

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка $[a,\;b]$ длин ломаных в $\R^n$, концы которых соответствуют значениям f в точках разбиения.

Связанные определения

• Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается $V[a,\;b]$ или просто V.
  • В таком случае определена функция $v(x)=V_a^x f$, называющаяся функцией полной вариации для f.
• Положительная вариация вещественнозначной функции f на отрезке $[a,\;b]$ называется следующая величина:

  $P_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_{k+1})-f(x_k)\}.$

• Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

  $N_a^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,\;f(x_k)-f(x_{k+1})\}.$

• Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

  $V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.$

Свойства функций ограниченной вариации

• Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию. Частное двух функций из V будет иметь ограниченную вариацию (другими словами, принадлежать классу V), если модуль знаменателя будет больше, чем положительная постоянная на отрезке $[a,\;b]$.
• Если $a<x\leqslant y<b$, а $f\in V[a,\;b]$, то $V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f$.
• Если функция f непрерывна в точке a справа и принадлежит $V[a,\;b]$, то $\lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0$.
• Функция f(x), заданная на отрезке $[a,\;b]$, является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей на $[a,\;b]$ функции (разложение Жордана).
• Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все первого рода.
• Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Все эти свойства были установлены Жорданом^[1][2].

Вычисление вариации

Вариация непрерывно дифференцируемой функции

Если функция $f:[a,\;b]\to\R^n$ принадлежит классу C¹, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке $[a,\;b]$, то f — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

$\int\limits_a^b\|f^\prime(x)\|\,dx,$

то есть равна интегралу нормы производной.

История

Функции ограниченной вариации изучались К. Жорданом^[1].

Первоначально класс функций с ограниченной вариацией был введён К. Жорданом в связи с обобщением признака Дирихле сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. Жордан доказал, что ряды Фурье 2π-периодичических функций класса $V[0,\;2\pi]$ сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса.

Вариации и обобщения

Длина кривой определяется как естественное обобщение вариации на случай отображений в метрическое пространство.

В случае нескольких переменных существует несколько различных определений вариации функции:

• вариация Фреше,
• плоская вариация Тонелли.

Φ-вариация функции

Рассматривается также класс $V_\Phi[a,\;b]$, который определяется следующим образом:

$V_{\Phi\,a}^b f\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{a\leqslant x\leqslant b}\sum\limits_{k=1}^n\Phi(|f(x_k)-f(x_{k-1}|),$

где Φ(x) ($x\geqslant 0,\;\Phi(0)=0$) — положительная при x > 0 монотонно возрастающая непрерывная функция;

$a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ — произвольное разбиение отрезка $[a,\;b]$.

Величина $V_{\Phi\,a}^b f$ называется Φ-вариацией функции f(x) на отрезке $[a,\;b]$.

Если $V_{\Phi\,a}^b f<\infty$, то функция f(x) обладает ограниченной Φ-вариацией на отрезке $[a,\;b]$. Класс всех таких функций обозначается через $V_\Phi[a,\;b]$ или просто как V_Φ^[3]. Определение класса $V_\Phi[a,\;b]$ предложено Л. Янгом^[4] (L. С. Yоung).

Частным случаем классов Янга являются классы Жордана, при этом Φ(x) = x. Если Φ(x) = x^p при $1<p<\infty$, то получаются классы V_p Н. Винера^[5] (N. Wiener).

Свойства

Если рассмотреть две функции Φ₁(x) и Φ₂(x) такие, что

$\varlimsup_{x\to 0^+}\frac{\Phi_1(x)}{\Phi_2(x)}<\infty,$

то для их Φ-вариаций справедливо отношение:

$V_{\Phi_2}[a,\;b]\subset V_{\Phi_1}[a,\;b].$

В частности,

$V_{x^p}\subset V_{x^q}\subset V_{\exp(-x^{-\alpha})}\subset V_{\exp(-x^{-\beta})}$

при $1\leqslant p<q<\infty,\;0<\alpha<\beta<\infty$.

См. также

• Вариация функционала
• Вариационное исчисление
• Вариационный ряд
• Интеграл Римана — Стилтьеса
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Фреше
• Вариация Харди

Литература

• Лебег, А. Интегрирование и отыскание примитивных функций / Пер. с франц. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 324 с.
• Hатансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
• Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — 936 с.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Jordan C. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1881. — t. 92. — № 5. — p. 228—230.
2. ↑ Hатансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — С. 234—238. — 484 с.
3. ↑ Бари, Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 287. — 936 с.
4. ↑ Yоung L. С. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. — 1937. — t. 204. — № 7. — p. 470—472.
5. ↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. — 1924. — v. 3. — p. 72—94.