Теорема о соотношении площадей треугольников с равным углом

Теорема о соотношении площадей треугольников с равным углом

Геометрический чертеж к теореме

Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом — одна из теорем геометрии треугольника.

Формулировка теоремы:

Площади треугольников, имеющих равный угол, относятся как произведения сторон, содержащих этот угол

Дано: $\bigtriangleup$ ABC и $\bigtriangleup$ A₁B₁C₁, ∠A=∠A₁.

Доказать: $\frac{S}{S_1}$ = $\frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.

Доказательство

Геометрический чертеж к теореме

1) Наложим $\bigtriangleup$A₁B₁C₁ на $\bigtriangleup$ ABC так, чтобы вершина A₁ совпала с A, а стороны A₁B₁ и A₁C₁ наложились соответственно на лучи AB и AC.

2) $\bigtriangleup$ ABC и $\bigtriangleup$ AB₁C имеют общую высоту CH, поэтому

$\frac{S}{S_{AB_1C}}$ = $\frac{AB}{AB_1}$.

$\bigtriangleup$ AB₁C и $\bigtriangleup$ AB₁C₁ также имеют общую высоту B₁H₁, поэтому

$\frac{S_{AB_1C}}{S_{AB_1C_1}}$ = $\frac{AC}{AC_1}$.

3) Перемножив полученные равенства, находим

$\frac{S}{S_1}$ = $\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}$ = $\frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.

Теорема доказана.