Расстояние Хемминга

Расстояние Хэмминга — мера (точнее, метрика) различия объектов одинаковой размерности.

Первоначально метрика была сформулирована Ричардом Хэммингом во время его работы в Bell Labs для определения меры различия между кодовыми комбинациями (двоичными векторами) в векторном пространстве кодовых последовательностей, в этом случае расстоянием Хэмминга $\mathbf{d (x, y)}$ между двумя двоичными последовательностями (векторами) $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ длины $\mathbf{n}$ называется число позиций, в которых они различны — в такой формулировке расстояние Хэмминга вошло в Словарь алгоритмов и структур данных Национального Института Стандартов США (англ. NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures).

Так, расстояние Хэмминга между векторами 00111 и 10101 равно 2 (красным отмечены различающиеся биты). В дальнейшем метрика была обобщена на q-ичные последовательности: для пары строк «выборы» и «забора» расстояние Хэмминга равно трём.

В общем виде расстояние Хэмминга $\mathbf{d_H}$ для объектов $\mathbf{X_i}$ и $\mathbf{X_j}$ размерности $\mathbf{p}$ задаётся функцией:

$d_H (X_i ,X_j ) = \sum\limits_{s = 1}^p {\left| {x_i^{(s)} - x_j^{(s)} } \right|}$

Расстояние Хэмминга обладает свойствами метрики, удовлетворяя следующим условиям:

1. $\mathbf{d_H (X_i ,X_j ) \ge 0}$
2. $\mathbf{d_H (X_i ,X_i ) = 0}$
3. $\mathbf{d_H (X_i ,X_j ) = d_H (X_j ,X_i )}$
4. $\mathbf{d_H (X_i ,X_k ) \le d_H (X_i ,X_j ) + d_H (X_j ,X_k )}$

Расстояние Хэмминга в биоинформатике и геномике

Для нуклеиновых кислот (ДНК и РНК) возможность гибридизации двух полинуклеотидных цепей с образованием вторичной структуры - двойной спирали - зависит от степени комплементарности нуклеотидных последовательностей обеих цепей. При увеличении расстояния Хэмминга количество водородных связей, образованных комплементарными парами оснований уменьшается и, соответственно, уменьшается стабильность двойной цепи. Начиная с некоторого граничного расстояния Хэмминга гибридизация становится невозможной.

При эволюционном расхождении гомологичных ДНК-последовательностей расстояние Хэмминга является мерой, по которой можно судить о времени, прошедшем с момента расхождения гомологов, например, о длительности эволюционного отрезка, разделяющего гены-гомологи и ген-предшественник.

Родственные методы

• Расстояние Левенштейна

Литература

• Richard W. Hamming. Error-detecting and error-correcting codes, Bell System Technical Journal 29(2):147-160, 1950.
• Ричард Блейхут. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М., «Мир», 1986

Ссылки

• Ричард Хэмминг и начало теории кодирования // Виртуальный компьютерный музей