Процентиль

Кванти́ль (или проценти́ль) в математической статистике — число, такое что заданная случайная величина не превышает его лишь с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и $\mathbb{P}^{X}$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины X. Пусть фиксировано $\alpha \in [0,1]$. Тогда α-квантилью (или квантилью уровня α) распределения $\mathbb{P}^{X}$ называется число $x_{\alpha} \in \mathbb{R}$, такое что

$\mathbb{P}^X((-\infty,x_{\alpha}]) \equiv \mathbb{P}(X\le x_{\alpha}) = \alpha$.

Квантили нормального распределения

Вероятность,%	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000	0,000

Замечания

• Если распределение непрерывно, то α-квантиль однозначно задаётся уравнением

F_X(x_α) = α,

где F_X — функция распределения $\mathbb{P}^X$ .

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

$\mathbb{P}\left(x_{\frac{1 - \alpha}{2}} \le X \le x_{\frac{1+\alpha}{2}} \right) = \alpha$.

Медиана и квантили

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0.25-квантиль называется первой (или нижней) квартилью;
• 0.5-квантиль называется медианой или второй квартилью;
• 0.75-квантиль называется третьей (или верхней) квартилью.

Примеры

• Квантили нормального распределения;
• Квантили распределения Стьюдента;
• Квантили распределения хи-квадрат.