Полиномиальная матрица

Полиномиальная матрица

Полиномиальная матрица - это матрица в которой каждый элемент одномерный или многомерный полином.

Одномерная полиноминальная матрица P степени p определяется как:

$P = \sum_{n=0}^p A(n)x^n = A(0)+A(1)x+A(2)x^2+ \cdots +A(p)x^p$

где A(i) определяется матрицей постоянных величин , и A(p) не равняется нулю.Таким образом полиномиальная матрица является матрицей эквивалентной полиному, в котором каждый элемент матрицы удовлетворяет определению полинома степени р

Например полиномиальная матрица размерностью 3х3, степени 2:

$P=\begin{pmatrix} 1 & x^2 & x \\ 0 & 2x & 2 \\ 3x+2 & x^2-1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}x^2$

Свойства

• Полиномиальная матрица имееющая определители отличные от нуля называется унимодулярной матрицей, инверсия полиномиальной матрицы также является полиномиальной матрицей.

Литература

• Емеличев В.А. "Многогранники. Графы. Оптимизация" Глава IV г. 1981