- Неравенство Бернулли
-
Нера́венство Берну́лли утверждает: если , то
- для всех
Доказательство
Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
- ,
Обобщенное неравенство Бернулли
Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при и :
- если , то
- если , то
- при этом равенство достигается в двух случаях:
ДоказательствоРассмотрим , причем .
Производная при , поскольку .
Функция дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки . Поэтому . Получаем:- ⇒ при
- ⇒ при
Значение функции , следовательно, справедливы следующие утверждения:
- если , то
- если , то
Несложно заметить, что при соответствующих значениях или функция . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■
Примечания
- Неравенство также справедливо для (при ), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Арифметика
- Неравенства
Wikimedia Foundation. 2010.