Обратное отображение

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция $g:Y\to X$ является обратной к функции $f:X\to Y$ если для них выполнены следующие два тождества:

f(g(y)) = y для всякого $y\in Y$

g(f(x)) = x для всякого $x\in X$

Связанные определения

• Функция для которой существует обратная называется биекцией.

Существование

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение x = F(y) относительно y. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к F не существует.

Согласно теореме о неявной функции выразить y из уравнения x − F(y) = 0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) монотонна. Но даже в противном случае возможно обратить функцию на любом из промежутков её монотонности. Так, можно говорить, что $\sqrt{x}$ является обратной функцией к x² на $[0, +\infty)$. На другом промежутке, точнее $(-\infty, 0]$, обратная функция другая: $-\sqrt{x}$.

Свойства

• Областью определения F ^{− 1} является множество Y, а областью значений множество X.
• По построению имеем:

$y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)$

или

$F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y$,

$F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X$,

или короче

$F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y$,

$F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X$,

где $\circ$ означает композицию функций, а id_X,id_Y — тождественные отображения на X и Y соответственно.

• Функция F является обратной к F ^{− 1}:

$\left(F^{-1}\right)^{-1} = F$.

• Пусть $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ — биекция. Пусть $F^{-1}:Y \to X$ её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F ^{− 1}(x) симметричны относительно прямой y = x.

Степенной ряд

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

$F^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!},$

где коэффициенты A_k задаются рекурсивной формулой:

$A_k(x)=\begin{cases} A_0(x)=x \\ A_{n+1}(x)=\frac{A_n'(x)}{F'(x)}\end{cases}$

Примеры

• Если $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$, где a > 0, то F ^{− 1}(x) = log_ax.
• Если $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$, где $a,b\in \mathbb{R}$ фиксированные постоянные, то $F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.$
• Если $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$, то $F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}.$

См. также

• Теорема Лагранжа об обращении рядов