- Список кристаллографических групп
-
Кристаллографические группы (группы симметрии трёхмерного пространства, фёдоровские группы) — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.
Содержание
Легенда к списку
Символ Германа — Могена
Символ пространственной группы содержит символ решетки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве.
Классы
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты:
- — ось симметрии n-го порядка.
- — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
- — плоскость симметрии.
- или — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
- — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная .
- — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
- или (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё и осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
Символ Шёнфлиса
- Сn — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
-
- Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
- Cnv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
- Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
- S2, S4, S6 (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.
-
- Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
- Dn — является группой Сn с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
-
- Dnh — также имеет имеет горизонтальную плоскость симметрии.
- Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
- O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
-
- Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
- Td — также содержат диагональную плоскость симметрии
n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.
Список всех 230 групп
Номер Класс Порядок класса Символ Германа-Могена Символ Шёнфлиса Изображение Триклинная система 1 1 2 1 Моноклинная система 3-5 3 Внешне человек обладает симметрией. 6-9 3 10-15 6 Ромбическая система 16-24 9 Рельсы обладают симметрией.
25 - 46 22 47-74 28 Тетрагональная система 75-80 6 Симметрия. 81-82 2 83-88 6 89-98 10 Кристаллическая структура аминоборана обладает симметрией. 99-110 12 111-122 12 123-142 20 Кристаллическая решётка циркона имеет симметрию Тригональная система 143-146 4 Алмаз обладает симметрией
147-148 2 149-155 7 156-161 6 162-167 6 Гексагональная система 168-173 6 Пчелиные соты обладают симметрией 174 1 175-176 2 177-182 6 Нанотрубка может обладать симметрией. 183-186 4 187-190 4 191-194 4 Кубическая система 195-199 5 200-206 7 207-214 8 215-220 6 221-230 10 В других размерностях
В одномерном пространстве есть всего две симметрии: трансляция и отражение. Примером симметричных фигур могут быть последовательности символов:
... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ...
Так первая бесконечная последовательность симметрична относительно трансляции на три клетки, вторая последовательность симметрична относительно отражения.
В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии. (см Двумерные дискретные группы (en))
Трёхмерное пространство обладает 230 симметриями.
Порядок группы симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.
Последующая классификация
Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.
Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.
Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.
См. также
Ссылки
Категории:- Списки:Физика
- Кристаллография
Wikimedia Foundation. 2010.