- Теорема Уитни о вложении
-
Теорема Уитни о вложении утверждает что
Произвольное гладкое
-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в
-мерное евклидово пространство.
Этот результат оптимален, например, если
— степень двойки, то
-мерное проективное пространство невозможно вложить в
-мерное евклидово пространство.
Содержание
О доказательстве
Случаи
и
«делаются руками». В случае
легко видеть, что гладкое отображение общего положения
является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:
Трюк Уитни
Пусть
есть точка самопересечения и
такие, что
. Соединим
и
гладкой кривой
Тогда
есть замкнутая кривая в
. Построим отображение
с границей
.
В общем положении,
является вложением (как раз здесь мы используем то, что
). Тогда можно продеформировать многообразие
вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.
Вариации и обобщения
Пусть
есть гладкое
-мерное многообразие,
.
- Если
не является степенью двойки, тогда существует вложение
в
может быть погружено в
- Более того
может быть погружено в
, где
есть число единиц в двоичном представлении
.
- Последний результат оптимален, для любого
можно можно построить
-мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в
.
- Последний результат оптимален, для любого
- Более того
Литература
- В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
- Skopenkov, A. (2008), "«Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces»", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045>
- Классификация вложений (англ.)
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Теоремы
- Если
Wikimedia Foundation. 2010.